Cálculo Diferencial e Integral

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Cálculo Diferencial e Integral elenca conceitos fundamentais para o ensino e a aprendizagem do tema, tais como limites, continuidade, diferenciabilidade e funções integráveis. A obra apresenta-se como um recurso importante para o estudo de uma área da Matemática que requer alto grau de disciplina e dedicação, tida por muitos como um campo árido e de difícil compreensão, mas presente em diversas esferas de conhecimento, desde a Engenharia, Arquitetura, Física, Química, passando pela Geologia e pela Oceanografia.

A obra contempla, de forma didática e precisa, gráficos ilustrativos, imagens e exercícios de distintos graus de dificuldade, que visam complementar e enriquecer o aprendizado do estudante. A proposta é apresentá-lo a uma abordagem de conceitos, métodos e resolução de problemas sob uma nova perspectiva, principalmente devido à vasta experiência do autor em sala de aula.

Como destaque, o livro impresso oferece o acesso gratuito a um conjunto de videoaulas exclusivas, com tópicos essenciais de Cálculo. Basta acessar www.grupogen.com.br e clicar em “cadastre-se”, no canto superior direito. Após criar sua conta, volte à página inicial e, novamente no canto superior direito, você deverá clicar em GEN-IO. Uma aba nova será aberta. No menu retrátil, após inserir os caracteres da etiqueta que você encontra na orelha do livro no campo “Cupom/PIN”, será possível acessar todos os vídeos disponíveis.

 

7 capítulos

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CAPÍTULO 1 - Funções e Subconjuntos da Reta

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Capítulo

1

Funções e Subconjuntos da Reta

1.1

Ordenação em 

Um conjunto é uma coleção de objetos ou elementos que verificam dada propriedade.

Essa propriedade é tal que somente os elementos do conjunto a possuem, determinando assim o conjunto de maneira única. Quando um conjunto tem um número finito de elementos, este é, em geral, definido pela apresentação de todos os seus elementos.

Nesse curso, a ideia de conjunto serve para determinar claramente a que objetos estaremos nos referindo ao ser feita qualquer afirmação.

O principal conjunto considerado neste estudo é o dos números reais, , com o qual o estudante já está familiarizado desde seus estudos no Ensino Fundamental e no Ensino Médio.

Uma representação dos números reais adequada para muitos fins é dada por uma reta na qual se escolhe um ponto a ser referido como 0, um sentido positivo, 0x, de modo que os pontos da reta à direita de 0 representam os números reais positivos, e os pontos à esquerda, os números reais negativos. Além disso, é escolhida uma unidade de distância na reta, de sorte que, quanto maior a distância entre 0 e um ponto P à direita de 0, maior será o valor atribuído na unidade escolhida à medida de 0P. Por outro lado, quanto mais distante de 0 estiver um ponto Q à esquerda de 0, menor será o valor numérico atribuído a 0Q, segmento esse que é negativo, por seu sentido ser oposto ao fixado por 0x.

 

CAPÍTULO 2 - Sequências de Números Reais

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Capítulo

2

Sequências de

Números Reais

2.1

Introdução

O conceito de limite de uma sequência de números reais é fundamental para todo o estudo do cálculo. É ele que, sem recorrer a qualquer outro, nos permite definir limite, continuidade, derivabilidade e integrabilidade de uma função.

Antes do estudo sistemático do assunto, consideramos informalmente alguns problemas que envolvem o conceito de convergência, ideia central no estudo. Embora, atualmente esse aspecto esteja muito bem definido, é um tópico marcante na formação matemática do estudante, pois é onde ele se defronta pela primeira vez com uma resolução que, à primeira vista, parece afastar-se da precisão a que todos nós nos acostumamos a encontrar nos métodos da matemática.

Faremos isso analisando um problema antigo e outro já de nosso tempo, que ilustram situações parecidas, mas que conduzem a soluções completamente distintas e que não podem ser confundidas. Contudo, para um curso mais rápido, o aluno deve estudar não mais que as três ou quatro primeiras seções, sendo a Seção 4 apenas a apresentação de dois importantes casos particulares de sequência.

 

CAPÍTULO 3 - O Limite de uma Função de Variável Real

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Capítulo

3

O Limite de uma Função de Variável Real

Neste capítulo, empregamos o conceito de limite de uma sequência de números reais, estudado no Capítulo 2, para analisar o significado do limite de uma função real de variável real em um ponto de seu domínio. Como sequências de números reais são funções cujo domínio é o conjunto , o limite de uma função de variável real é uma extensão daquele conceito, e, assim, não deve ser uma surpresa que muitos dos resultados válidos para o limite de uma função de variável real decorram de um correspondente sobre sequências reais.

Por essa razão, a compreensão do conceito de limite de uma sequência de números reais dá ao estudante de cálculo um entendimento mais claro da definição do limite de uma função real, além de uma habilidade maior que aquela obtida somente com a resolução de listas de exercícios. Por exemplo, no estudo do limite de uma função real de variável real, é comum, em dado momento, o professor ilustrar a situação com um exemplo

 

CAPÍTULO 4 - A Continuidade de uma Função de Variável Real

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Capítulo

4

A Continuidade de uma Função de Variável Real

4.1

O conceito de continuidade

De maneira informal, entende-se por contínua a função f : I → , sendo I ⊂  um intervalo tal que, para x1 e x2 pertencentes a I, a curva graf(f  ) ligando ( x1 , f ( x1 )) a

( x2 , f ( x2 )) não se enquadre em qualquer dos três casos de gráfico de funções sem limite em um ponto, vistos na seção anterior, nem tenha interrupção. Isso quer dizer que podemos ligar o ponto ( x1 , f ( x1 )) ao ponto ( x2 , f ( x2 )) por uma curva gráfico “bemcomportada”.

Figura 4.1  Não há interrupção entre a curva ligando dois pontos no gráfico de uma função contínua cujo domínio é um intervalo.

Prosseguindo com a discussão informal sobre o que queremos que seja uma função contínua, dados x0 , x ∈ I , pontos do intervalo I = Dom (f ), y0 = f ( x0 ) e y = f ( x) ≠ f ( x0 ), existem y1 entre y e y0, bem como x1 entre x e x0, sendo f ( x1 ) = y1. Considerando,

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CAPÍTULO 5 - A Derivada de uma Função

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Capítulo

5

A Derivada de uma Função

Neste capítulo, estudaremos o conceito de derivada de uma função no mesmo espírito dos dois capítulos anteriores, salientando sua conexão com os processos assentados sobre a ideia de limite de uma sequência, sem perder de vista, no entanto, sua forte aplicabilidade.

5.1

O conceito de derivada e suas propriedades

DEFINIÇÃO 5.1

(Derivada de uma função em x0)

Sejam f : I → R, I um intervalo aberto da reta e x0 ∈ I . A função f é derivável em x0 quando existe o limite lim

x → x0

f ( x ) - f ( x0 )

, x - x0

ou, fazendo h = x - x0 ,

lim h →0

f ( x0 + h ) - f ( x0 )

, h

cujo valor é representado por f ′( x0 ) ou

f ′( x0 ) = lim h →0

df

( x0 ) , ou seja, dx

f ( x0 + h ) - f ( x0 )

. (5.1) h

Pela definição de limite, a existência de (5.1) implica que, fixado e > 0, existe d > 0 tal que

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CAPÍTULO 6 - Funções Integráveis

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Capítulo

6

Funções Integráveis

6.1

Integrais superior e inferior de uma função

Apresentamos, nesta seção, os fundamentos teóricos iniciais para a construção da integral de Riemann de uma função f contínua e definida em um intervalo da forma

[a,b]. O objetivo é dar uma compreensão bastante clara nesse nível de estudo antes de iniciar as aplicações.

DEFINIÇÃO 6.1

(Partição de um intervalo)

Dado o intervalo I = [a,b] da reta, uma partição P de I é um conjunto P = {α 0 ,α1 ,...,α k } tal que α 0 = a , α k = b e α 0 < α1 < ... < α k .

Ou seja, uma partição de um intervalo I é um conjunto de pontos P pertencentes a I que assim o subdividem em intervalos da forma [α i ,α i +1 ].

exemplo 6.1

1 1

3 2

3

2

Dado o intervalo da reta real I = [0, 2] , uma partição de I é o conjunto P = {0, , ,1, , 2}, pois, então,

Capitulo_06.indd 224

0 = α0 <

1

1

3

= α1 < = α 2 < 1 = α 3 < = α 4 < 2 = α 5

 

APÊNDICE A Introdução à Lógica Matemática

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apêndice

Introdução à Lógica Matemática

O termo lógica apresenta tanto um significado técnico, mais restrito, quanto outro mais amplo, utilizado em situações diárias. Assim, é comum as pessoas se referirem a comportamentos socialmente razoáveis como sendo “lógicos” em oposição àqueles temerários, vistos como “ilógicos”; ou a uma explicação “lógica”, apresentada por alguém, em contraste com uma “ilógica”. Nesses exemplos, poderíamos substituir a palavra “lógica” por “sensato”, para o comportamento, e “coerente”, para a explicação. Estaremos, neste Apêndice, tratando do termo em seu sentido restrito ou técnico.

A Lógica tem por objetivo o estudo dos métodos e princípios que distinguirão raciocínios corretos de incorretos. Do ponto de vista da Matemática, interessa determinar regras para obter corretamente uma conclusão, partindo-se de um dado conjunto de declarações. Demonstrar um teorema não é outra coisa senão exibir um encadeamento logicamente correto de argumentos, desde a sua hipótese à sua tese.

 

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