Vibrações Mecânicas

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Vibrações Mecânicas vem preencher uma lacuna na literatura didática relacionada a este tema tão importante na formação dos engenheiros, bem como de profissionais de outras áreas das ciências exatas. Inserido no contexto da dinâmica, o estudo das vibrações mecânicas é relevante não apenas do ponto de vista das aplicações práticas, mas também da formação geral dos estudantes − incluindo a associação às equações diferenciais, apresentadas aqui de modo claro e abrangente.

O conteúdo desta obra traz desde os tópicos básicos até os mais avançados, com uma abordagem moderna, respeitando um rigoroso formalismo matemático, que expressa a experiência acadêmica e profissional de seus autores. Marcelo Amorim Savi e Aline Souza de Paula, doutores em Engenharia Mecânica, apresentam um texto baseado nos cursos de graduação e pós-graduação da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), oferecendo aos estudantes e pesquisadores um material amplo e sólido, que pode ser utilizado em diversos níveis de pesquisa e aplicação.

 

12 capítulos

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1. - Introdução

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1

Introdução

O

estudo de vibrações mecânicas é antigo e se confunde com a história da mecânica, que é a ciência que estuda forças, movimentos e suas interações. Desde tempos antigos, a mecânica teve um grande destaque entre as ciências. Leonardo da Vinci (1452-1519) disse certa vez que a “mecânica é o paraíso da ciência matemática, porque se veem os frutos da matemática”. Historicamente, o interesse do ser humano pela mecânica vem desde a época em que ele começou a construir. Os antigos povos egípcios, gregos e romanos, por exemplo, fizeram inúmeras construções, o que exigiu conhecimentos sobre a resistência dos materiais. Sem dúvida, os grandes precursores do estudo da mecânica foram

Galileu Galilei (1564-1642) e Isaac Newton (1642-1727). Aliás, este último pode ser considerado o pai da mecânica clássica. Entre as suas inúmeras contribuições à ciência, destacam-se as leis do movimento e o cálculo diferencial.

O estudo da mecânica está calcado em alguns princípios fundamentais que, quando aplicados, permitem a descrição de problemas relacionados com o movimento de corpos, como planetas, aviões, carros ou pedras.

 

2. - Sistemas Dinâmicos Discretos

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Sistemas Dinâmicos

Discretos

U

m sistema físico pode ser representado por modelos contínuos ou discretos. Os sistemas discretos estão associados a um número finito de graus de liberdade (gdl), que são definidos como o número de coordenadas independentes necessárias para descrever completamente o movimento. Uma partícula livre para se movimentar em um espaço tridimensional possui três gdl associados a determinado sistema de coordenadas. Um corpo rígido no espaço requer 6 gdl para definir completamente seu movimento. O limite de um sistema discreto é o sistema contínuo que possui um número infinito de graus de liberdade.

A Figura 2.1 apresenta uma comparação entre sistemas compostos por diferentes graus de liberdade.

Inicialmente, mostra-se um pêndulo simples, com 1 gdl, representado pelo angulo θ. Note que, de fato, a dinâmica do pêndulo simples pode ser descrita a partir de coordenadas espaciais x e y. No entanto, existe uma restrição entre essas duas coordenadas, o que faz com que exista apenas uma coordenada independente, θ. O pêndulo duplo, por sua vez, necessita de duas coordenadas, θ1 e θ2, possuindo, portanto, 2 gdl. x

 

3. - Vibrações Livres

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Vibrações Livres

V

ibração livre representa a resposta do sistema dinâmico sem nenhum forçamento externo. Dessa forma, trata-se de uma característica natural do sistema. Do ponto de vista matemático, há interesse na solução da equação diferencial de movimento homogênea. Este capítulo é dedicado a explorar a resposta de um oscilador linear submetido a vibrações livres.

Considere, portanto, um oscilador linear na ausência de forças externas, f(t) = 0. Dessa forma, a equação de movimento é uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem e homogênea:

 + 2xwn u + wn2 u = u

0

(3.1)

Nesse momento, assume-se uma solução do tipo: u = Aest (3.2)

Note que estamos sugerindo uma forma para a solução da equação diferencial. Isso implica que devemos verificar se ela a satisfaz e, portanto, atende ao equilíbrio dinâmico do sistema físico. O fato de a solução existir e ser única aponta que, se encontrarmos uma solução da equação, encontramos a solução.

 

4. - Vibrações com Forçamento Harmônico

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Vibrações com

Forçamento Harmônico

A

s vibrações livres estão associadas à resposta natural do sistema após uma perturbação inicial. Em situações em que a perturbação se prolonga ao longo do tempo, utilizamos o termo genérico de forçamento para descrevê-la, representado por uma força externa. A resposta de um sistema mecânico excitado por uma fonte externa depende da forma e de como essa força varia com o tempo. Matematicamente, o forçamento é representado por um termo do lado direito da equação de movimento, tornando-a não homogênea.

Genericamente, refere-se à resposta de sistemas submetidos a excitações externas, como vibrações forçadas, e sua análise depende do tipo de forçamento. A Figura 4.1 mostra o caso geral de um oscilador linear submetido a uma força externa F(t). Sua equação de movimento é mostrada a seguir: u k

F(t) m

c

Figura 4.1 Oscilador forçado.

mu + cu + k u =

F (t )

(4.1)

De maneira geral, é conveniente classificar o forçamento da seguinte forma: harmônico, periódico e arbitrário. Este capítulo trata de forçamentos harmônicos, e o próximo capítulo, de forçamentos não harmônicos (periódico e arbitrário). O forçamento aleatório é uma outra forma de excitação, associado a sistemas não determinísticos.

 

5. - Vibrações com Forçamento Não Harmônico e Transformadas

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Vibrações com

Forçamento Não Harmônico e Transformadas

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investigação de forçamentos harmônicos não cobre todas as possibilidades de vibrações forçadas.

Usualmente, os sistemas mecânicos estão submetidos a diferentes tipos de forçamento e é necessário ter ferramentas para conhecer a resposta de cada um dos tipos de excitação. Este capítulo trata de forçamentos não harmônicos classificados da seguinte forma: periódico e arbitrário.

A essência dos procedimentos apresentados neste capítulo é a superposição de efeitos. A ideia central

é representar o forçamento como uma combinação de forçamentos cuja solução se conhece. A partir daí, considera-se que a solução é a composição das soluções conhecidas.

Este capítulo apresenta também uma análise sobre transformadas. A transformada de Laplace é uma ferramenta alternativa para resolver equações diferenciais. A ideia desse procedimento consiste em transformar as equações do sistema dinâmico para um espaço no qual as equações de governo são algébricas. Dessa forma, a solução passa a ser uma tarefa mais simples.

 

6. - Vibrações de Sistemas Discretos

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Vibrações de

Sistemas Discretos

S

istemas dinâmicos com um grau de liberdade são protótipos de uma série de situações físicas. No entanto, deve-se ter claro que esses sistemas limitam a realidade física a situações nas quais uma

única variável é suficiente para descrever a dinâmica do sistema. Existem situações diferentes, para o mesmo sistema dinâmico, que exigem a consideração de mais graus de liberdade.

Para compreender esse argumento, considere uma viga em balanço, mostrada na Figura 6.1. Essa viga pode representar diferentes sistemas mecânicos, como um prédio. O sistema com um grau de liberdade

é adequado para representar o movimento da extremidade da viga. Contudo, podem-se ter situações diferentes, associadas a uma dinâmica mais complexa e, para representá-las, é necessário incluir mais graus de liberdade na análise. A Figura 6.1 mostra duas respostas de um mesmo sistema dinâmico e a sua representação discreta associada. Situação semelhante é apresentada na Figura 6.2, que mostra um corpo flutuante, parcialmente submerso, representando um barco. Na primeira situação, o corpo apresenta apenas um movimento vertical e, portanto, um grau de liberdade é suficiente para descrever a sua dinâmica. Na segunda situação, o corpo, além de apresentar o movimento vertical, também apresenta um movimento de balanço. Nesse caso, o sistema necessita de dois graus de liberdade para ser descrito.

 

7. - Introdução à Mecânica dos Sólidos

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Introdução à

Mecânica dos Sólidos

A

realidade física é contínua e os sistemas discretos constituem uma idealização útil para sua modelagem. Uma forma alternativa à utilização de sistemas discretos é descrever os sistemas físicos a partir de sistemas contínuos. Pelo fato de representar o mesmo sistema físico, os sistemas discretos e contínuos possuem características dinâmicas similares. A diferença básica entre eles está no número de graus de liberdade. Os sistemas discretos possuem um número finito de graus de liberdade, enquanto os sistemas contínuos possuem infinitos graus de liberdade.

Matematicamente, um sistema discreto é governado por EDOs, e um sistema contínuo é governado por

EDPs. Análise da dinâmica de um sistema contínuo possui duas abordagens distintas. A primeira é uma abordagem modal, baseada na separação de variáveis, enquanto a segunda é baseada na propagação de ondas.

A análise de vibrações em meios contínuos considera os mesmos princípios fundamentais aplicados aos sistemas discretos. Este capítulo tem como objetivo apresentar as principais características da formulação do problema mecânico associado a um meio contínuo sólido. Basicamente, são discutidos o equilíbrio, apresentando as tensões; a cinemática, a partir de uma discussão de deformação; e as equações constitutivas, particularmente as equações elásticas. Com isso, definem-se as equações da elasticidade linear. A partir do próximo capítulo, passa-se a utilizar esses conceitos para tratar a vibração de sistemas contínuos.

 

8. - Vibrações de Sistemas Contínuos: Equação da Onda

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Vibrações de

Sistemas Contínuos:

Equação da Onda

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vibração de sistemas contínuos trata a dinâmica de sistemas com infinitos graus de liberdade descritos a partir de equações diferenciais parciais. Este capítulo foca sua atenção na equação da onda que descreve uma série de fenômenos físicos. A equação da onda pode ser vista como uma teoria aproximada obtida a partir das equações da elasticidade. Inicialmente, apresenta-se a formulação matemática discutindo a vibração longitudinal de barras, a vibração transversal de cordas e a vibração torcional de eixos. A seguir, são tratadas as soluções da equação da onda que representam as duas abordagens existentes para investigar a dinâmica da vibração: abordagem modal e abordagem propagatória.

8.1 Equação da onda

A equação da onda descreve a vibração de uma série de fenômenos físicos, notadamente a vibração longitudinal de barras, a vibração transversal de cordas, e a vibração torcional de eixos. A seguir, apresentase a formulação desses problemas.

 

9. - Vibrações de Sistemas Contínuos: Vigas e Placas

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Vibrações de

Sistemas Contínuos:

Vigas e Placas

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s teorias de vigas e placas possuem inúmeras aplicações, o que motiva a apresentação das principais características de sua dinâmica. Este capítulo tem como objetivo discutir a vibração de vigas e placas. Inicialmente é discutida a vibração de vigas de Bernoulli-Euler. Depois, trata-se a dinâmica da viga-coluna e o efeito da carga normal. A seguir, a viga de Timoshenko. A teoria da placa de Kirchhoff é então discutida. Mais uma vez vale dizer que as teorias de vigas e placas podem ser vistas como teorias aproximadas no contexto da teoria da elasticidade.

9.1 Viga

A dinâmica de vibrações transversais de elementos estruturais é usualmente tratada no contexto de teoria de vigas, que descreve o comportamento de um sólido tridimensional em um contexto unidimensional. Considere a vibração transversal de uma viga, submetida a um carregamento qualquer, conforme mostrado na Figura 9.1.

∆x

x

 

10. - Vibrações Não Lineares

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Vibrações Não Lineares a

té o presente momento, investigamos a dinâmica de sistemas lineares. Contudo, a natureza é essencialmente não linear e a sua descrição a partir de modelos não lineares é mais realista. Vibrações não lineares, portanto, englobam uma variedade maior de fenômenos, relacionada com questões essenciais muitas vezes desprezadas.

Neste capítulo, vamos apresentar uma abordagem para tratar sistemas não lineares. Trataremos sistemas discretos cuja dinâmica é um protótipo de diversos sistemas físicos. Note que podemos considerar não linearidades físicas ou geométricas dos sistemas envolvidos. Do ponto de vista físico, podemos pensar em não linearidades constitutivas como comportamentos elásticos não lineares, plasticidade ou outros fenômenos correlatos. Do ponto de vista geométrico, podemos pensar em impactos ou grandes deslocamentos. O caso clássico é o pêndulo, desde que não consideremos válida a ideia de pequenos

ângulos (sen(q) ¹ q).

Considere, portanto, um sistema dinâmico geral que pode ser entendido como a evolução de um campo vetorial formado pelas variáveis de estado {X}, que é continuamente transformado por uma função {g}. Dessa forma, tem-se uma descrição quadro a quadro da realidade, representada pela seguinte equação de movimento:

 

A. - Métodos Numéricos

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Métodos Numéricos

A

análise de métodos numéricos possui várias abordagens diferentes. Este Apêndice faz uma breve apresentação de métodos numéricos úteis para a análise das vibrações mecânicas. Em essência, apresentam-se métodos aplicáveis a problemas de valor inicial, cuja utilidade está associada à integração de equações diferenciais ordinárias decorrentes dos sistemas discretos. Além disso, apresentamse métodos aplicáveis a problemas de valor de contorno, tipicamente associados à parte espacial das equações diferenciais parciais que governam os sistemas contínuos. Note que a solução de um sistema contínuo envolve uma combinação dos dois métodos.

A.1 Problema de valor inicial

Inicialmente, tratam-se os problemas de valor inicial, aplicáveis a sistemas dinâmicos do seguinte tipo apresentado na Eq. (A.1). Por simplicidade, escreve-se X = {x}:

=

X g=

( X , t ), X (t0 ) X 0

(A.1)

Para se considerar uma solução numérica, deve-se discretizar o problema, dividindo o tempo em um conjunto de pontos (tn), que são separados por um intervalo de tempo ∆t. Dessa forma, o instante de tempo tn+1 é definido da seguinte forma:

 

B. - Números Complexos e Transformada de Laplace

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Números Complexos e

Transformada de Laplace

O

s números complexos foram criados a partir da necessidade de se avaliar a raiz quadrada de um número negativo. Essa necessidade foi análoga àquela que existiu quando se precisou tratar números negativos em um universo de números positivos ou números reais em um universo de números inteiros. Essencialmente, deve-se definir um número imaginário da seguinte forma: i=

−1 (B.1)

A partir daí, tem-se que um número complexo possui uma parte real e uma parte imaginária: z =x + iy =Re(z ) + i Im(z ) (B.2)

Nesse contexto, vê-se que um número complexo pode ser entendido como um vetor no espaço R2, que possui um eixo Real e outro Imaginário (Figura B.1). Dessa forma, coordenadas polares podem ser utilizadas para descrever um número complexo. x = R cos(θ )

(B.3) y = R sen(θ )

O que implica que:

z =x + iy =R cos(θ ) + iR sen(θ ) =R cos(θ ) + i sen(θ ) =Re iθ (B.4) iy

r

θ x

 

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